【數學之美】分形——發現隱藏的維度
2020-11-07 09:12:17
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仔細回想一下，在我們的生活中，無論是蜿蜒曲折的海岸線、綿延的山脊、變幻無常的云團，盤根錯節的樹根，還是人體的毛細血管，盡管它們的形狀是不規則的，但如果用不同倍數的鏡頭來觀察，它們的局部、分支和整體都有著非常高的相似性。
數學家們將這種“可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀“的形態特征叫做分形，最早由數學家曼德爾布羅特(B.B.Mandelbrot)在1973年提出。
盡管上述自然現象中的分形可能不那么完美，但是一旦我們利用數學公式，就可以構造出各種各樣的完美分形。
數學里的分形
數學里的分形可以說是從康托爾集（Cantor Set）開始的。一個線段把中間的1/3去掉，得到兩個分開的線段，再對剩下的兩段進行相同的操作，得到4個線段。這樣重復進行下去直到無窮，最后得到的圖形集合就是康托爾集。用一個看似簡單的步驟得到了一個無限復雜的圖形，而且它的每一個細節放大之后都和整體看起來一模一樣。
科克曲線（Koch snowflake）從一個正三角形開始，在它的每個邊上增加一個1/3大小的小三角，它就變成了一個六角星，接著在每個小三角的邊上繼續增加它的1/3大小的小三角，然后無限重復這個過程。就會得到一個看上去像是雪花的圖形。
如果說康托爾集是最平淡的分形，那么科克曲線才真正展示了分形之美。當你放大之后，就會發現它的每一個邊都是自身形狀的無數次重復。不僅如此，這個圖形還有一個神奇的特性：它有著無限長的邊長，但是它的總面積卻最大不會超過雪花的外接圓面積。換句話說，一根無限長的曲線圍住了一塊有限的面積。
一個更有代表性的分形圖案：皮亞諾曲線（Peano Curve）。一根線不斷構造自相似的形狀，最終把正方形填滿。這樣一條本該是一維的曲線卻憑借分形特征填滿了二維的形狀，似乎已經超越了一維的境界，但說它是二維圖形又還不夠。那它到底是一維還是二維呢？
曼德勃羅特集（mandelbrot set）以分形之父曼德爾布羅特的名字命名，可能是人類有史以來做出的最奇異，最瑰麗的幾何圖形，曾被稱為“上帝的指紋”。它集非常簡單的產生公式和無限復雜的圖像為一體。有的地方像日冕，有的地方像燃燒的火焰，只要計算的點足夠多，不管你把圖案放大多少倍，都能顯示出更加復雜的局部。這些局部既與整體不同，又有某種相似的地方，好像有無窮無盡的細節和自相似性。
類似有趣的分形還有很多，我們一起來看些例子吧。
分形的應用
我們身邊充斥著無處不在的分形，同時，我們也將分形的概念和方法應用在諸多領域。
美國皮克斯公司的創始人之一、計算機科學家洛倫·卡彭特，用分形理論第一次在電腦繪制出讓人瞠目的3D山巒巨石。從一個全景圖出發，由一些非常粗略的三角形構成，然后對于每個三角形，分成4個小三角形，繼續這樣迭代，最終形成了非常逼真的山脈。這一方法成為了現在電影、游戲中實現特效的重要方式。
在無線電領域，如果你觀察用于信號接收的天線，你會看到優美的自相似分形。通過分形設計讓線路在狹小的空間內無限擴展（工藝允許的情況下）長度，不僅大大縮小天線的體積，還可以保證更好的收發效果。也正是因為分形的應用，我們的手機才得擺脫了那些明顯的天線，做成現在這種精致的樣式。
美國PBS電視臺于2008年制作了一部名為《尋找隱藏的維度》的數學紀錄片，上述關于分形的所有內容都將在這部紀錄片里得到更加生動地介紹。如果你對分形已經有了好奇，就趕緊點擊觀看吧！
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