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機(jī)器學(xué)習(xí)平臺(tái)算法知識(shí)分享—7大統(tǒng)計(jì)分析算法
2022-10-28 16:35:14
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方差分析
方差分析是為了解決一個(gè)因素對(duì)另外一個(gè)因素是否存在顯著性影響提出的,因子為影響因素,因變量為分析因素。方差分析是檢驗(yàn)多組樣本均值間的差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義的一種方法。最常見的是單因素方差分析,平臺(tái)中的因變量又叫觀測(cè)變量,而因子又稱為控制變量或因素。單因素方差分析的過程,其實(shí)就是把樣本的總離差平方S_T和與自由度分解為誤差平方和(又稱組內(nèi)平方和S_e)和因素的效應(yīng)平方和(又稱組間平方和S_A)兩部分,用于隨機(jī)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中樣本均值的比較。其統(tǒng)計(jì)推斷是推斷各組樣本總體均值是否相等。
單因素方差分析(ANOVA)的計(jì)算、分析步驟如下。
1、計(jì)算三種平方和:S_T,S_A 及S_e;
2、分析上述三種平方和對(duì)應(yīng)的自由度;
3、計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值;
4、將計(jì)算的結(jié)果,列成方差分析表;
5、按照給定的顯著性水平(1-置信水平),以及F統(tǒng)計(jì)量的值,對(duì)原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn),給出檢驗(yàn)結(jié)果。
?
相關(guān)系數(shù)
相關(guān)系數(shù)是用來反映變量之間的相關(guān)關(guān)系的密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)的取值一般介于-1和1之間。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正的時(shí)候,意味著變量之間是正相關(guān)的;當(dāng)相關(guān)系數(shù)為負(fù)的時(shí)候,意味著變量之間是負(fù)相關(guān)的。常見的相關(guān)系數(shù)包括Pearson相關(guān)系數(shù)(有時(shí)簡稱為相關(guān)系數(shù))以及Spearman相關(guān)系數(shù)。
Pearson相關(guān)系數(shù)是最早由統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾•皮爾遜設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo),是研究變量之間線性相關(guān)程度的量,一般用字母r表示。其計(jì)算公式為:
其中,Cov(X,Y)為變量X與變量Y的協(xié)方差;D(X)與D(Y)分別為X和Y的方差。Pearson相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1,1],取值為-1時(shí),表示兩變量完全負(fù)相關(guān);取值為1時(shí),表示兩變量完全線性相關(guān);取值為0時(shí),表示兩變量不相關(guān);相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,表示兩變量間相關(guān)性越強(qiáng)。
Spearman相關(guān)系數(shù),是衡量分級(jí)定序變量之間的相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。對(duì)不服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)、原始資料等級(jí)數(shù)據(jù)、總體分布未知的數(shù)據(jù)不符合使用Pearson相關(guān)系數(shù)來描述關(guān)聯(lián)性。此時(shí),可采用秩相關(guān)(也稱等級(jí)相關(guān)),來描述兩個(gè)變量的關(guān)聯(lián)程度與方向,即Spearman相關(guān)。
Spearman相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為:
其中,d_i是x_i和y_i的秩差,n為數(shù)據(jù)量。Spearman相關(guān)系數(shù)(ρ_s)的取值范圍是[-1,1],ρ_s<0為負(fù)相關(guān),ρ_s>0為正相關(guān)。若數(shù)據(jù)中無重復(fù)值,且兩個(gè)變量完全單調(diào)相關(guān)時(shí),spearman相關(guān)系數(shù)為1或-1.
?
典型相關(guān)分析
典型相關(guān)分析是研究兩組變量之間相關(guān)關(guān)系的一種多元
統(tǒng)計(jì)分析方法
。它借用主成分分析降維的思想,分別對(duì)兩組變量提取主成分,且使兩組變量提取的主成分之間的相關(guān)程度達(dá)到最大,而從同一組內(nèi)部提取的各主成分之間互不相關(guān),用從兩組之間分別提取的主成分的相關(guān)性來描述兩組變量整體的線性相關(guān)關(guān)系。
典型相關(guān)分析整個(gè)步驟如下:
設(shè)X和Y分別為p維和q維隨機(jī)向量,已知
的協(xié)方差矩陣為:
其中
是兩個(gè)常向量,令:
記
,則有:
上式說明:λ^2既是矩陣A的特征根,也是矩陣B的特征根,且u和v分別是對(duì)應(yīng)的一對(duì)特征向量。因此,這里先求出各特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)。注意,可證明:
,其中
.
按照特征值大小順序,先取出最大的特征值
,求出其對(duì)應(yīng)的一對(duì)特征向量
.接下來做規(guī)格化處理,即設(shè):
則令:
此結(jié)果即為系數(shù)向量的解,即:
此時(shí)的z_1和w_1有最大的相關(guān)系數(shù)。
上述z_1和w_1稱為第一對(duì)典型變量。它們之間的相關(guān)系數(shù)的根值λ_1即為第一典型相關(guān)系數(shù)。類似地,可以得到X和Y的其它各典型變量和相應(yīng)的典型相關(guān)系數(shù)。
?
偏相關(guān)分析
偏相關(guān)分析是常用相關(guān)分析的一種,是指當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)與第三個(gè)變量相關(guān)時(shí),將第三個(gè)變量的影響剔除,只分析另外兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的過程。偏相關(guān)分析也稱凈相關(guān)分析,它在空值其它變量的線性影響的條件下分析兩變量間的線性相關(guān)性,所采用的工具是偏相關(guān)系數(shù)(凈相關(guān)系數(shù))。控制變量個(gè)數(shù)為一時(shí),偏相關(guān)系數(shù)稱為一階偏相關(guān)系數(shù);控制變量個(gè)數(shù)為二時(shí),偏相關(guān)系數(shù)稱為二階偏相關(guān)系數(shù);控制變量個(gè)數(shù)為零時(shí),偏相關(guān)系數(shù)稱為零階偏相關(guān)系數(shù),也就是相關(guān)系數(shù)。
平臺(tái)中偏相關(guān)系數(shù)采用迭代法實(shí)現(xiàn),目前支持求一階、二階偏相關(guān)系數(shù)。其具體計(jì)算公式如下:
上面兩式,分別是控制變量z時(shí),x與y的一階偏相關(guān)系數(shù),以及控制變量z_1 和z_2后,x與y的二階偏相關(guān)系數(shù)。
?
相似度
相似度計(jì)算用于衡量對(duì)象之間的相似程度,用來衡量對(duì)象之間的差異性的大小。在很多領(lǐng)域,如信息檢索、推薦系統(tǒng)中,都涉及到對(duì)象之間的相似度計(jì)算。
其中,距離度量用于指定衡量對(duì)象之間差異性的距離度量方式,包括歐式距離、曼哈頓距離、余弦距離和Tanimoto距離等方式進(jìn)行對(duì)象的相似度計(jì)算。
?
描述數(shù)據(jù)特征
描述數(shù)據(jù)特征節(jié)點(diǎn)用于總結(jié)觀測(cè)數(shù)據(jù),從而盡可能簡單全面地表達(dá)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的數(shù)值范圍、分布等信息。該節(jié)點(diǎn)可統(tǒng)計(jì)數(shù)值字段的:樣本個(gè)數(shù)、缺失值個(gè)數(shù)、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最小值、最大值、極差、中位數(shù)、眾數(shù)、峰度、偏度等指標(biāo);字符字段的:樣本個(gè)數(shù)、缺失值個(gè)數(shù)、最多計(jì)數(shù)、最少計(jì)數(shù)、分類計(jì)數(shù)、分類占比等。
?
概率單位回歸
概率單位回歸是將概率轉(zhuǎn)換為與自變量所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差,將因變量反應(yīng)率P轉(zhuǎn)換為單位概率,然后和協(xié)變量建立回歸關(guān)系,即完成了概率單位回歸方程構(gòu)建。
概率單位回歸算法的整個(gè)步驟如下:
給定協(xié)變量
,以及反應(yīng)頻數(shù)R,觀察單位總數(shù)T,其中 R,T∈R^n。對(duì)協(xié)變量進(jìn)行變換對(duì)數(shù)變換,包含以e為底的變換
以及以10為底的變換
。
利用反應(yīng)頻數(shù)和觀察單位總數(shù)計(jì)算反應(yīng)比例P=R/T,然后將反應(yīng)比例P轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下左側(cè)面積為P時(shí)的Z界值,即得到實(shí)際的概率單位值;
結(jié)合步驟1和步驟2得到的協(xié)變量變換值與實(shí)際的概率單位值,利用線性回歸擬合概率單位值和協(xié)變量的變化值之間的關(guān)系。
利用所得的線性回歸模型得到擬合的系數(shù)信息:包含系數(shù)估計(jì)值、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、T統(tǒng)計(jì)量、顯著程度、置信區(qū)間最小值和置信區(qū)間最大值。
上一篇:企業(yè)要做數(shù)字化轉(zhuǎn)型的三個(gè)必要原因—大數(shù)據(jù)分析行業(yè)知識(shí)分享
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